Wie Berechnet Man Den Flächeninhalt Eines Drachenvierecks

Du freust Dich sich bestimmt auf den windigen Herbst, um endlich Deinen Drachen wieder steigen zu lassen. Hast Du Dich schon einmal gefragt, wie viel Stoff Du benötigst, um selbst einen Drachen herzustellen? Dafür musst Du den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen. Wie das geht, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wichtig sind zunächst das Allgemeinwissen und dice Grundlagen zum Drachenviereck. Sieh Dir dazu auch die jeweiligen Artikel genauer an.

Drachenviereck – Grundlagenwissen

Das Drachenviereck ist eine wichtige Figur der Geometrie. Drachenvierecke sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

Ein Drachenviereck chapeau vier Winkel und vier Seiten, wobei jeweils zwei aneinandergrenzende Seiten gleich lang und zwei Winkel gleich groß sind. Es aureate too immer folgendes:

Ein vollständig beschriftetes Drachenviereck inklusive der Winkel und Diagonalen, welche zugleich die Symmetrieachsen darstellen, sieht beispielsweise wie in Abbildung one aus.

Abbildung 2: Das Drachenviereck

Dice Teilstrecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Spitze wird als x, jene hin zum Eckpunkt A als y bezeichnet.

Doch wie kann nun dice Fläche dieser Figur bestimmt werden?

Flächeninhalt Drachenviereck – Herleitung und Formel

Der Flächeninhalt einer geometrischen Figur hängt von dessen Form ab und gibt an, wie groß diese ist. In der Mathematik wird der Flächeninhalt mit einem großen A gekennzeichnet.

Um jetzt den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu bestimmen, hast Du verschiedene Möglichkeiten:

ane. Flächeninhalt Drachenviereck – Abzählen Koordinatensystem

Kann eine maßstäbliche Skizze angefertigt werden, and so kannst Du die Fläche des Drachenvierecks manchmal auch durch Abzählen im Koordinatensystem bestimmen.

Das Drachenviereck korrekt ins Koordinatensystem eingezeichnet sieht wie folgt aus:

Abbildung iii: Drachenviereck - Koordinatensystem

Folgendes Beispiel zeigt, wie die Fläche eines Drachenvierecks im Koordinatensystem händisch abgezählt werden kann.

Aufgabe i

Wie groß ist die Fläche des Drachenvierecks, wenn die Teilstrecke und dessen Diagonale (Längeneinheiten) und die Diagonale lang sind? Ein Kästchen chapeau hierbei eine Fläche von .

Der Ausdruck Fe beschreibt die Größe der Fläche in Flächeneinheiten. Dabei wird keine konkrete Längeneinheit wie beispielsweise cm, mm oder m festgelegt.

Abbildung four: Fläche - Händisch abzählen

Lösung – Abzählen

Die Fläche A eines roten Quadrats ist in dieser Aufgabe vorgegeben. Um die Fläche des gesamten Drachenvierecks zu ermitteln, kann zunächst abgezählt werden, wie viele dieser roten Quadrate in das Drachenviereck hineinpassen.

Hierfür müssen jene Teile gefunden werden, welche zusammen ein vollständiges Quadrat ergeben.

Abbildung five: Fläche - Händisch abzählen

Insgesamt sind 12 Quadrate in der Figur möglich. Um die Fläche A des Drachenvierecks auch in Fe angeben zu können, muss nun dice Anzahl der Quadrate mit der Fläche dieser Quadrate multipliziert werden.

Somit beträgt die Fläche der gesamten Figur .

Nicht immer ist jedoch die Fläche eines kleinen Quadrats gegeben und die Fläche eines Drachenvierecks lässt sich nicht immer über Abzählen bestimmen. Deshalb kann der Flächeninhalt auch über eine Formel berechnet werden.

2. Flächeninhalt Drachenviereck berechnen

Bei einem Drachenviereck benötigst Du zur Berechnung der Fläche lediglich die beiden Diagonalen. Wie in Abbildung iv zu sehen ist, können diese allgemein als Diagonalen east und f bezeichnet werden.

Die beiden Diagonalen werden miteinander multipliziert, welches ein Rechteck ergibt. Anschließend wird dieses durch zwei dividiert, da, wie in der folgenden Abbildung ersichtlich, die Fläche des Drachenvierecks genau die Hälfte der Rechtecksfläche darstellt.

Abbildung 7: Herleitung Flächenformel

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f wird wie folgt berechnet:

Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die beiden Diagonalen auch vertauschen und verwenden.

Zeit für die Anwendung dieser Formeln in konkreten Beispielen.

Aufgabe 1

Wie groß ist die Fläche des Drachenvierecks, wenn die Teilstrecke , dessen Diagonale (Längeneinheiten) und dice Diagonale lang sind? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von .

Lösung – Formel

Statt dem Abzählen von Kästchen, kann hier direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts verwendet werden. Es gilded:

Durch Einsetzen der Werte für die Diagonalen e und f ergibt sich:

Auch über die Berechnung mithilfe der Formel ergibt sich wieder für den Flächeninhalt des blauen Drachenvierecks eine Fläche von .

Mithilfe der Fläche können auch andere Variablen berechnet werden, indem die Formel umgestellt wird.

Flächeninhalt Drachenviereck – Formel umstellen

Sollten nicht beide Diagonalen in der Aufgabe einen Wert aufweisen, können diese berechnet werden, indem dice Flächenformel umgestellt wird oder auch andere Formeln verwendet werden.

Möchtest Du genaueres zur Herleitung und Definition der Formeln erfahren oder Dich an Übungsbeispiele hierzu herantasten, sieh Dir unbedingt den Beitrag zum Thema Diagonale Drachenviereck auf StudySmarter an!

Bist Du bereit für den praktischen Teil? Dann auf geht'south zu den praktischen Übungsbeispielen!

Flächeninhalt Drachenviereck – Aufgaben

Folgende Aufgaben werden das neu angeeignete theoretische Wissen zur Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks vertiefen.

Aufgabe three

Gegeben sind folgende Werte eines Drachenvierecks:

Berechne dice Fläche dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, muss die Flächenformel des Drachenvierecks hingeschrieben, die Werte eingesetzt und im Anschluss die Gleichung gelöst werden.

Die Fläche des Drachenvierecks beträgt .

Soweit alles verstanden? Super, dann auf zur nächsten Aufgabe!

Aufgabe iv

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

Berechne die Fläche dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, muss zuerst die Diagonale east berechnet werden, welche für dice Berechnung der Fläche zwingend notwendig ist. Hierfür müssen die Werte für ten, f und a in dice Berechnungsformel der Diagonale due east eingesetzt und anschließend die Gleichung gelöst werden.

Dice Diagonale e des Drachenvierecks ist somit lang.

Als letzten Schritt werden nun beide Werte der Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt:

Dice Fläche des Drachenvierecks beträgt .

Sieh Dir den folgenden DeepDive an, wenn Du Dich gerne kniffligen Herausforderungen stellst!

Aufgabe 5

Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung eines selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Die Fläche dieser Figur können nur die Wenigsten herausfinden".

Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

Abbildung 8: Skizze

Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und dice Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

Lösung

Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Flächeninhalt, welcher wie folgt berechnet wird:

Da weder die Werte der Diagonale due east noch der Diagonale f in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Eine Skizze hilft festzustellen, ob ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Figur mindestens zwei Seiten aufweist, wodurch mithilfe des Satzes nach Pythagoras die übrige Seite berechnet werden könnte.

Abbildung nine: Satz des Pythagoras

Da keines der rechtwinkligen Dreiecke zwei bekannte Seiten aufweist, muss versucht werden, mithilfe des Umfangs die Seite b zu berechnen. Hierzu wird die Umfangsformel nach b freigestellt, dice Werte eingesetzt und dice Gleichung gelöst.

Berechnung der Seite b

Dice Seite b beträgt somit .

Wird nun das folgende rechtwinklige Dreieck untersucht, wird festgestellt, dass mithilfe des Satzes nach Pythagoras nun die fehlende Seite, berechnet werden kann.

Abbildung 10: Satz des Pythagoras Abbildung 11: Satz des Pythagoras

Als Erstes wird der Lehrsatz nach Pythagoras nach K2 freigestellt und die Variablen eingesetzt. Dies sieht wie folgt aus:

Unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras kann mithilfe der Diagonale f, der Strecke x und der Seite a jetzt die Teilstrecke y berechnet werden. Im Anschluss daran kann dice Diagonale e berechnet werden, welche sich aus der Summe der beiden Teilstrecken x und y ergibt.

Abbildung 12: Satz des Pythagoras

Hierbei wird die gelernte Formel verwendet, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst:

Als letzten Schritt werden die Werte der beiden Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt und die Gleichung berechnet.

Die Fläche der Figur beträgt somit . Gut gemacht!

Flächeninhalt Drachenviereck – Das Wichtigste auf einen Blick

---

Nachweise

1. Ludwig et al. (2015). Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer Verlag.
2. Benölken et al. (2018). Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Springer Verlag.

Source: https://www.studysmarter.de/schule/mathe/geometrie/flaecheninhalt-drachenviereck/

Share this post